TEMA 5.- RELACIONES GEOMÉTRICAS. SEMEJANZA, IGUALDAD Y EQUIVALENCIA

 TEMA 5.- RELACIONES GEOMÉTRICAS. SEMEJANZA, IGUALDAD Y EQUIVALENCIA

1.- Semejanza: 

Dos figuras son semejantes cuando mantienen la misma forma pero tienen distinto tamaño y por lo tanto distinta área.

Las figuras semejantes conservan la orientación y las magnitudes angulares, pero se diferencian en las magnitudes de sus lados atendiendo a un factor de proporcionalidad, es decir, los lados de dos figuras semejantes son proporcionales.

Construcción de la figura semejante a otra dada conociendo la razón de semejanza:

Primer procedimiento: 

Se obtiene el polígono F= ABCDE y hay que construir el polígono semejante a él, siendo la razón de semejanza, por ejemplo 1/2. Se toma un punto cualquiera P y se une con los vértices del polígono F. El segmento PA  se divide en dos partes iguales y se fija el punto A', homólogo del A, siendo PA= 1/2 PA. Por A' se traza la paralela AB hasta que corten en B' a PB; se sigue así por medio de paralelas construyendo el polígono F' , que tiene los ángulos iguales y sus lados en la proporción respecto a los del polígono F. Se tiene A'B'=1/2 AB, B'C'=1/ 2 a. C. , etc.

Segundo procedimiento:

Se opera como en el caso de igualdad de figuras. Si la razón de semejanza es 2:1, se toma 1'-2'=1/2 y 2'-A'= 1/2 2-A, es decir, se divide por 2 las dos coordenadas y se obtiene el polígono F dado y el F' es 2:1. La razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza, es decir, 4:1.

Construcción de una figura semejante a otra dada (por coordenadas)

Tercer procedimiento:

En la figura dada se construye una cuadrícula ABCD de lado L; si la figura que se desea obtener a de ser doble, se toma una cuadrícula A'B'C'D' de lado 2L; sobre esta cuadrícula se marcan los puntos necesarios para construir la figura. La razón de semejanza es la que existe entre los lados de las cuadrículas.

Figuras semejantes por cuadrícula

Construcción de una figura semejante a otra por sistema de cuadrícula

2.- Igualdad: 

Dos figuras son iguales (en términos geométricos) cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño (por lo tanto mantendrán también la misma área). 

Procedimiento de imprimación. Por triangulación.

Se obtiene una figura cualquiera ABCDEF;  se descompone en triángulos por medio de las diagonales que parten de un vértice; en la figura 11 es el vértice B; a la derecha se van construyendo uno a uno, y en el mismo orden los triángulos 1,2,3 y 4  de los que se conocen los tres lados.

Se puede tomar otro punto cualquiera exterior o interior a la figura para hacer el análisis de triángulos. En la figura 12 se toma el punto P, que se une con todos los vértices, formando así triángulos.

Transportar un polígono mediante triangulación (Igualdad)

Segundo procedimiento. Por coordenadas.

Se desea construir una figura igual al polígono ABCDE. Se toma una recta r cualquiera como eje o base y se proyectan sobre ella los puntos A, B,...; esta proyección puede ser ortogonal u oblicua; se tienen así los puntos 1,2,3...  en la recta r  y por ellos se trazan las perpendiculares ar ',  se toman los puntos 1',2',3'... a las mismas distancias que en la recta a  y por ellos se trazan las perpendiculares a  r ', llevando las alturas o cotas correspondientes; así 1'=A'= 1-A, 2'-B'=2-B, etc. Este sistema se llama de coordenadas porque se emplea un sistema de coordenadas cartesianas, es decir, las distancias xe ya dos ejes que se indican en la figura.

Transportar un polígono mediante coordenadas (Igualdad)

Tercer procedimiento. Por copia de ángulos o rodeo.

Dado el polígono ABCDEF, se toma A'B' y en B' se construye el ángulo B; sobre su lado se lleva B'C'=BC y en C' se lleva el ángulo C; así sucesivamente se van situando los lados y los ángulos hasta cerrar el polígono. Este método resulta gráficamente inexacto, pues se van acumulando pequeños errores en cada operación.

Transportar un polígono mediante transporte de ángulos (Igualdad)

Cuarto procedimiento. Por traducción.

Dado el polígono ABCDEF, se trazan por sus vértices una serie de rectas paralelas a,b,c...; se toma un punto cualquiera A' en a y por A' se traza la paralela AB hasta que corte en B' a la recta b; por B', por paralela BC hasta que corte en C' a la recta c, y así sucesivamente. Este procedimiento es una simple traslación.

Por traducción

Quinto procedimiento. Con el empleo de una cuadrícula.

Se dibuja una cuadrícula o retícula sobre la figura o bien se superpone una cuadrícula de papel transparente; se fijan los puntos donde la figura corta a las líneas de la retícula y luego se marcan sobre una cuadrícula igual. En realidad, este procedimiento se utiliza más para ampliar figuras, empleando cuadrículas de mayor tamaño que la original y sobre todo se emplea para hacer cuadros grandes a partir de originales o fotografías pequeñas.

Transportar un polígono mediante coordenadas (Igualdad)

3.- Equivalencia: Dos figuras son equivalentes cuando tienen distinta forma pero mantienen el mismo área.

Construcción de un polígono equivalente a otro, pero que tenga un lado menos.

Tenemos el polígono ABCDEF; se toma una diagonal cualquiera, por ejemplo, la FB, tal que deje aislado a un solo vértice, el A; la parte BCDEF es común a las dos figuras; se prolonga el lado CB hasta que corte a la paralela a la diagonal FB trazada por el vértice A. Se obtiene así el vértice G. El polígono GDEEF es equivalente al dado y tiene un lado menos. Los triángulos ABF y GBF son equivalentes por tener la misma base FB e igual altura. De esta forma se pueden disminuir los lados uno a uno hasta tener un triángulo equivalente a la figura dada.

Polígono equivalente a otro con un lado menos